系外惑星の観測手法
Observation method of exoplanet
Since 14 Jun, 2009
Updated 14 August

アストロメトリ法
ドップラー法
トランジット法

重力レンズ法
パルサー・タイミング法











●間接法


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■ドップラー法(視線速度法)
視線速度法(ドップラー法/Doppler shift):惑星が公転することによる中心星の揺れを利用する方法。非常によく用いられる。

 中心星の運動速度の視線方向成分(vr)の変化としてDoppler遷移を用いて測定する。系外惑星発見率95%以上の非常にメジャーな観測手法。
●具体的方法

 中心星の放射スペクトルの吸収線の位置のずれを高分散光観測によってvrを得る。
 ガスセル法:恒星光をガス(ヨウ素I、フッ化水素FH)に通過させ安定で波長がよく分かっているガス分子の吸収線を目盛りとして埋め込む方法。
ドップラー法の原理 地球から観測して、恒星が遠ざかればスペクトルは赤に、逆に地球に近づけば青色に変化する。特に恒星からやってくるスペクトル(光の成分)の変化を利用している。 ドップラー法から、惑星の公転周期、軌道長半径、離心率、質量の下限値が分かる。この他のパラメータは別の観測手法によって得られる。

 質量関数(Mass Function)とは、系外惑星の質量決定の道具として用いるパラメータのことで,質量のサイズにより天体の種別が決まる。質量 の下限値が基準より大きければ、褐色矮星、連星、恒星へと分類される。基準を超えない系外惑星範囲内でも、例えばスーパーアース、スーパーネプチューンなど細分化される。
 31Fメインフロアで公開されている管理人Physitが作った(安全、無害と言える)核兵器に相当するソフトウェア「Planet Hunter9」は、この質量関数を重視して使用している。 この式から、ドップラー法に必要不可欠な視線速度曲線を導き出し、曲線を描くことが出来る。


<<質量関数>>

系外惑星は、中心星と同じ共通重心を中心として周囲を公転している。公転運動に伴い、観測者に近づけば波長が短くスペクトルは 青くなり、逆に遠ざかれば波長が長くスペクトルは赤くなるドップラー偏移を引き起こす。


1)一般的な質量関数の導出

重心から見た主星の質量をμ、重心から見た惑星の質量をμpとおくと、

μ=Mp3/(M+Mp)2
μp=M3/(M+Mp)2
主星の運動エネルギーは、
T=Mdot(R12)/2+μcdot(r)2/2
惑星の運動エネルギーは、
Tp=Mpdot(R22)/2+μcdot(r)2/2
また、運動エネルギーの和は、
T=T+Tp=Mdot(R12)/2++ Mpdot(R22)/2+μcdot(r)2
ポテンシャルエネルギーは、
U(R1,R2)=-GμM/R1-GμpMp/R2
ここでラグランジアンLは
L=T-U=Mdot(R12)/2+ Mpdot(R22)/2+μcdot(r)2 +GμM/R1+GμpMp/R2
となる。
これより、ラグランジュ方程式即ち主星の運動方程式(線型微分方程式)は
Mdot{dot(R1)}=-GμMR1/R13
である。R=eλtとおくと、上記の式は
λ2=-Gμ/R13
より、この微分方程式をオイラー(Euler)の公式を用いて解くと一般解は、
z=rsin(θ+ω)
但し、実際はこれに軌道面傾斜角iをかけ、
惑星の位置は、
z=rsin(θ+φ)sin(i)
と表される。惑星の動径をr=L/(1+ecosθ) [半直弦:L=a(1-e^2)^(1/2)] とすると,時間微分して,
Vr=dot(z) = ∂z/∂t = [dot(r)sin(θ+φ)+r・dot(θ)cos(θ+φ)]sin i ・・・@
となる。
また動径rも時間微分して,  dot(r)=-Ldot(θ)cosθ/(1+ecosθ)^2=L/(1+cosθ)・dot(θ)sinθ/(1+cosθ)=Lsinθr・dot(θ)/(1+cosθ) ・・・A となる。面積速度Aと公転周期の関係は,楕円の面積(πab)を面積速度の半分(h/2)でわったのが公転周期だから,
P=2πab/h=h/{2πab(1-e^2)^(1/2)}
であるから,
h=r^2dot(θ)=2πa(1+ecosθ)/(1-e^2)^(1/2) ・・・B

AとBを@に代入して,
dot(r)=2πaesinθ/{P(1-e^2)} ・・・C
が得られる。B,Cを@に代入して,
Vr=dot(z)=(2πaesin(i)/{P(1-e^2)})[ecos(ω)+cos(θ+ω)]
となる。上式の下線部分をK(視線速度曲線の振幅)と定義する。さらに実際に観測される視線速度は,これに重心の速度γを加えて表される。
重心座標での主星の運動方程式から,重心から見た換算質量μ=(Mp)^3/(M+Mp)^2と調和の法則(ケプラーの第3法則)a^3/P^2=Gμ/4π^2から

重要 (0≦e<1)
が得られ,質量関数(MassFunction)が導かれた。右端の式はP,K,eの3つの観測量から成る。
したがって,系外惑星の質量(下限値)は,
系外惑星に関する質量関数(MassFunction)
と与えられる。
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光のドップラー効果と惑星質量決定  pdf型核兵器/LastUpdated 18 August, 2009(Revised 14 August)
<<訂正箇所>>
  • p.6の9行目「ポテンシャルエネルギー」:右辺のMp、Mを入れ替える。
  • 式(11)の運動方程式:、Mを、Mpに直す。
※訂正箇所が見つかり次第、更新します。上記の訂正箇所を直したファイルを2009/8/18に更新いたしました。


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■アストロメトリ法







トランジット法
  Transit Method トランジット法とは、惑星と中心星の系をほぼ真横(軌道面傾斜角i=90°)から観測しているとき、惑星が中心星の全面を通過するときの中心星の減光を利用した観測手法。減光現象から取得した光度曲線で、軌道面傾斜角、中心星に対する惑星の半径比を求め、惑星のサイズ、質量(確定値)、密度、重力、脱出速度、トランジット中心時刻、惑星がトランジットする確率などが判る。




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TTV法
 TTV法とはTransit Timing Variation methodの略で、一定周期で公転する惑星に重力摂動などの影響による乱れから、特に軽質量の惑星を発見するのに重要な役割を果たすだろうと期待されている間接法の一つである。
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重力レンズ法

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系外惑星の観測手法

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